Рассмотрим в пространстве плоскость Q. Положение ее вполне определяется заданием вектора N, перпендикулярного этой плоскости, и некоторой фиксированной точки лежащей в плоскости Q. Вектор N, перпендикулярный плоскости Q, называется нормальным вектором этой плоскости. Если обозначить через А, В и С проекции нормального вектора N, то

Выведем уравнение плоскости Q, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор . Для этого рассмотрим вектор соединяющий точку с произвольной точкой плоскости Q (рис. 81).

При любом положении точки М на плоскости Q вектор МХМ перпендикулярен нормальному вектору N плоскости Q. Поэтому скалярное произведение Запишем скалярное произведение через проекции. Так как , а вектор , то

и, следовательно,

Мы показали, что координаты любой точки плоскости Q удовлетворяют уравнению (4). Нетрудно заметить, что координаты точек, не лежащих на плоскости Q, этому уравнению не удовлетворяют (в последнем случае ). Следовательно, нами получено искомое уравнение плоскости Q. Уравнение (4) называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку. Оно первой степени относительно текущих координат

Итак, мы показали, что всякой плоскости соответствует уравнение первой степени относительно текущих координат.

Пример 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Решение. Здесь . На основании формулы (4) получим

или, после упрощения,

Придавая коэффициентам А, В и С уравнения (4) различные значения, мы можем получить уравнение любой плоскости, проходящей через точку . Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку, называется связкой плоскостей. Уравнение (4), в котором коэффициенты А, В и С могут принимать любые значения, называются уравнением связки плоскостей.

Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки , (рис. 82).

Решение. Напишем уравнение связки плоскостей, проходящих через точку

Можно задавать разными способами (одной точкой и вектором, двумя точками и вектором, тремя точками и др.). Именно с учетом этого уравнение плоскости может иметь различные виды. Также при соблюдении определенных условий плоскости могут быть параллельными, перпендикулярными, пересекающимися и т.д. Об этом и поговорим в данной статье. Мы научимся составлять общее уравнение плоскости и не только.

Нормальный вид уравнения

Допустим, есть пространство R 3 , которое имеет прямоугольную координатную систему XYZ. Зададим вектор α, который будет выпущен из начальной точки О. Через конец вектора α проведем плоскость П, которая будет ему перпендикулярна.

Обозначим на П произвольную точку Q=(х,у,z). Радиус-вектор точки Q подпишем буквой р. При этом длина вектора α равняется р=IαI и Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Это единичный вектор, который направлен в сторону, как и вектор α. α, β и γ - это углы, которые образуются между вектором Ʋ и положительными направлениями осей пространства х, у, z соответственно. Проекция какой-либо точки QϵП на вектор Ʋ является постоянной величиной, которая равна р: (р,Ʋ) = р(р≥0).

Указанное уравнение имеет смысл, когда р=0. Единственное, плоскость П в этом случае будет пересекать точку О (α=0), которая является началом координат, и единичный вектор Ʋ, выпущенный из точки О, будет перпендикулярен к П, несмотря на его направление, что означает, что вектор Ʋ определяется с точностью до знака. Предыдущее уравнение является уравнением нашей плоскости П, выраженным в векторной форме. А вот в координатах его вид будет таким:

Р здесь больше или равно 0. Мы нашли уравнение плоскости в пространстве в нормальном виде.

Общее уравнение

Если уравнение в координатах умножим на любое число, которое не равно нулю, получим уравнение, эквивалентное данному, определяющее ту самую плоскость. Оно будет иметь такой вид:

Здесь А, В, С - это числа, одновременно отличные от нуля. Это уравнение именуется как уравнение плоскости общего вида.

Уравнения плоскостей. Частные случаи

Уравнение в общем виде может видоизменяться при наличии дополнительных условий. Рассмотрим некоторые из них.

Предположим, что коэффициент А равен 0. Это означает, что данная плоскость параллельна заданной оси Ох. В этом случае вид уравнения изменится: Ву+Cz+D=0.

Аналогично вид уравнения будет изменяться и при следующих условиях:

• Во-первых, если В=0, то уравнение изменится на Ах+Cz+D=0, что будет свидетельствовать о параллельности к оси Оу.
• Во-вторых, если С=0, то уравнение преобразуется в Ах+Ву+D=0, что будет говорить о параллельности к заданной оси Oz.
• В-третьих, если D=0, уравнение будет выглядеть как Ах+Ву+Cz=0, что будет означать, что плоскость пересекает О (начало координат).
• В-четвертых, если A=B=0, то уравнение изменится на Cz+D=0, что будет доказывать параллельность к Oxy.
• В-пятых, если B=C=0, то уравнение станет Ах+D=0, а это означает, что плоскость к Oyz параллельна.
• В-шестых, если A=C=0, то уравнение приобретет вид Ву+D=0, то есть будет сообщать о параллельности к Oxz.

Вид уравнения в отрезках

В случае когда числа А, В, С, D отличны от нуля, вид уравнения (0) может быть следующим:

х/а + у/b + z/с = 1,

в котором а = -D/А, b = -D/В, с = -D/С.

Получаем в итоге Стоит отметить, что данная плоскость будет пересекать ось Ох в точке с координатами (а,0,0), Оу - (0,b,0), а Oz - (0,0,с).

С учетом уравнения х/а + у/b + z/с = 1 нетрудно визуально представить размещение плоскости относительно заданной координатной системы.

Координаты нормального вектора

Нормальный вектор n к плоскости П имеет координаты, которые являются коэффициентами общего уравнения данной плоскости, то есть n (А,В,С).

Для того чтобы определить координаты нормали n, достаточно знать общее уравнение заданной плоскости.

При использовании уравнения в отрезках, которое имеет вид х/а + у/b + z/с = 1, как и при использовании общего уравнения, можно записать координаты любого нормального вектора заданной плоскости: (1/а + 1/b + 1/с).

Стоит отметить, что нормальный вектор помогает решить разнообразные задачи. К самым распространенным относятся задачи, заключающиеся в доказательстве перпендикулярности или параллельности плоскостей, задачи по нахождению углов между плоскостями или углов между плоскостями и прямыми.

Вид уравнения плоскости согласно координатам точки и нормального вектора

Ненулевой вектор n, перпендикулярный заданной плоскости, называют нормальным (нормалью) для заданной плоскости.

Предположим, что в координатном пространстве (прямоугольной координатной системе) Oxyz заданы:

• точка Мₒ с координатами (хₒ,уₒ,zₒ);
• нулевой вектор n=А*i+В*j+С*k.

Нужно составить уравнение плоскости, которая будет проходить через точку Мₒ перпендикулярно нормали n.

В пространстве выберем любую произвольную точку и обозначим ее М (х у,z). Пускай радиус-вектор всякой точки М (х,у,z) будет r=х*i+у*j+z*k, а радиус-вектор точки Мₒ (хₒ,уₒ,zₒ) - rₒ=хₒ*i+уₒ*j+zₒ*k. Точка М будет принадлежать заданной плоскости, если вектор МₒМ будет перпендикулярен вектору n. Запишем условие ортогональности при помощи скалярного произведения:

[МₒМ, n] = 0.

Поскольку МₒМ = r-rₒ, векторное уравнение плоскости выглядеть будет так:

Данное уравнение может иметь и другую форму. Для этого используются свойства скалярного произведения, а преобразовывается левая сторона уравнения. = - . Если обозначить как с, то получится следующее уравнение: - с = 0 или = с, которое выражает постоянство проекций на нормальный вектор радиус-векторов заданных точек, которые принадлежат плоскости.

Теперь можно получить координатный вид записи векторного уравнения нашей плоскости = 0. Поскольку r-rₒ = (х-хₒ)*i + (у-уₒ)*j + (z-zₒ)*k, а n = А*i+В*j+С*k, мы имеем:

Выходит, у нас образовывается уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно нормали n:

А*(х- хₒ)+В*(у- уₒ)С*(z-zₒ)=0.

Вид уравнения плоскости согласно координатам двух точек и вектора, коллинеарного плоскости

Зададим две произвольные точки М′ (х′,у′,z′) и М″ (х″,у″,z″), а также вектор а (а′,а″,а‴).

Теперь мы сможем составить уравнение заданной плоскости, которая будет проходить через имеющиеся точки М′ и М″, а также всякую точку М с координатами (х,у,z) параллельно заданному вектору а.

При этом векторы М′М={х-х′;у-у′;z-z′} и М″М={х″-х′;у″-у′;z″-z′} должны быть компланарными с вектором а=(а′,а″,а‴), а это значит, что (М′М, М″М, а)=0.

Итак, наше уравнение плоскости в пространстве будет выглядеть так:

Вид уравнения плоскости, пересекающей три точки

Допустим, у нас есть три точки: (х′,у′,z′), (х″,у″,z″), (х‴,у‴,z‴), которые не принадлежат одной прямой. Необходимо написать уравнение плоскости, проходящей через заданные три точки. Теория геометрии утверждает, что такого рода плоскость действительно существует, вот только она единственная и неповторимая. Поскольку эта плоскость пересекает точку (х′,у′,z′), вид ее уравнения будет следующим:

Здесь А, В, С отличные от нуля одновременно. Также заданная плоскость пересекает еще две точки: (х″,у″,z″) и (х‴,у‴,z‴). В связи с этим должны выполняться такого рода условия:

Сейчас мы можем составить однородную систему с неизвестными u, v, w:

В нашем случае х,у или z выступает произвольной точкой, которая удовлетворяет уравнение (1). Учитывая уравнение (1) и систему из уравнений (2) и (3), системе уравнений, указанной на рисунке выше, удовлетворяет вектор N (А,В,С), который является нетривиальным. Именно потому определитель данной системы равняется нулю.

Уравнение (1), которое у нас получилось, это и есть уравнение плоскости. Через 3 точки она точно проходит, и это легко проверить. Для этого нужно разложить наш определитель по элементам, находящимся в первой строке. Из существующих свойств определителя вытекает, что наша плоскость одновременно пересекает три изначально заданные точки (х′,у′,z′), (х″,у″,z″), (х‴,у‴,z‴). То есть мы решили поставленную перед нами задачу.

Двухгранный угол между плоскостями

Двухгранный угол представляет собой пространственную геометрическую фигуру, образованную двумя полуплоскостями, которые исходят из одной прямой. Иными словами, это часть пространства, которая ограничивается данными полуплоскостями.

Допустим, у нас имеются две плоскости со следующими уравнениями:

Нам известно, что векторы N=(А,В,С) и N¹=(А¹,В¹,С¹) перпендикулярны согласно заданным плоскостям. В связи с этим угол φ меж векторами N и N¹ равняется углу (двухгранному), который находится между этими плоскостями. Скалярное произведение имеет вид:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

именно потому

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(АА¹+ВВ¹+СС¹)/((√(А²+В²+С²))*(√(А¹)²+(В¹)²+(С¹)²)).

Достаточно учесть, что 0≤φ≤π.

На самом деле две плоскости, которые пересекаются, образуют два угла (двухгранных): φ 1 и φ 2 . Сумма их равна π (φ 1 + φ 2 = π). Что касается их косинусов, то их абсолютные величины равны, но различаются они знаками, то есть cos φ 1 =-cos φ 2 . Если в уравнении (0) заменить А, В и С на числа -А, -В и -С соответственно, то уравнение, которое мы получим, будет определять эту же плоскость, единственное, угол φ в уравнении cos φ= NN 1 /|N||N 1 | будет заменен на π-φ.

Уравнение перпендикулярной плоскости

Перпендикулярными называются плоскости, между которыми угол равен 90 градусов. Используя материал, изложенный выше, мы можем найти уравнение плоскости, перпендикулярной другой. Допустим, у нас имеются две плоскости: Ах+Ву+Cz+D=0 и А¹х+В¹у+С¹z+D=0. Мы можем утверждать, что перпендикулярными они будут, если cosφ=0. Это значит, что NN¹=АА¹+ВВ¹+СС¹=0.

Уравнение параллельной плоскости

Параллельными называются две плоскости, которые не содержат общих точек.

Условие (их уравнения те же, что и в предыдущем пункте) заключается в том, что векторы N и N¹, которые к ним перпендикулярны, коллинеарные. А это значит, что выполняются следующие условия пропорциональности:

А/А¹=В/В¹=С/С¹.

Если условия пропорциональности являются расширенными - А/А¹=В/В¹=С/С¹=DD¹,

это свидетельствует о том, что данные плоскости совпадают. А это значит, что уравнения Ах+Ву+Cz+D=0 и А¹х+В¹у+С¹z+D¹=0 описывают одну плоскость.

Расстояние до плоскости от точки

Допустим, у нас есть плоскость П, которая задана уравнением (0). Необходимо найти до нее расстояние от точки с координатами (хₒ,уₒ,zₒ)=Qₒ. Чтобы это сделать, нужно привести уравнение плоскости П в нормальный вид:

(ρ,v)=р (р≥0).

В данном случае ρ (х,у,z) является радиус-вектором нашей точки Q, расположенной на П, р - это длина перпендикуляра П, который был выпущен из нулевой точки, v - это единичный вектор, который расположен в направлении а.

Разница ρ-ρº радиус-вектора какой-нибудь точки Q=(х,у,z), принадлежащий П, а также радиус-вектора заданной точки Q 0 =(хₒ,уₒ,zₒ) является таким вектором, абсолютная величина проекции которого на v равняется расстоянию d, которое нужно найти от Q 0 =(хₒ,уₒ,zₒ) до П:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, но

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Вот и получается,

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Таким образом, мы найдем абсолютное значение полученного выражения, то есть искомое d.

Используя язык параметров, получаем очевидное:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Если заданная точка Q 0 находится по другую сторону от плоскости П, как и начало координат, то между вектором ρ-ρ 0 и v находится следовательно:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

В случае когда точка Q 0 совместно с началом координат располагается по одну и ту же сторону от П, то создаваемый угол острый, то есть:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

В итоге получается, что в первом случае (ρ 0 ,v)>р, во втором (ρ 0 ,v)<р.

Касательная плоскость и ее уравнение

Касающаяся плоскость к поверхности в точке касания Мº - это плоскость, содержащая все возможные касательные к кривым, проведенным через эту точку на поверхности.

При таком виде уравнения поверхности F(х,у,z)=0 уравнение касательной плоскости в касательной точке Мº(хº,уº,zº) будет выглядеть так:

F х (хº,уº,zº)(х- хº)+ F х (хº, уº, zº)(у- уº)+ F х (хº, уº,zº)(z-zº)=0.

Если задать поверхность в явной форме z=f (х,у), то касательная плоскость будет описана уравнением:

z-zº =f(хº, уº)(х- хº)+f(хº, уº)(у- уº).

Пересечение двух плоскостей

В расположена система координат (прямоугольная) Oxyz, даны две плоскости П′ и П″, которые пересекаются и не совпадают. Поскольку любая плоскость, находящаяся в прямоугольной координатной системе, определяется общим уравнением, будем полагать, что П′ и П″ задаются уравнениями А′х+В′у+С′z+D′=0 и А″х+В″у+С″z+D″=0. В таком случае имеем нормаль n′ (А′,В′,С′) плоскости П′ и нормаль n″ (А″,В″,С″) плоскости П″. Поскольку наши плоскости не параллельны и не совпадают, то эти векторы являются не коллинеарными. Используя язык математики, мы данное условие можем записать так: n′≠ n″ ↔ (А′,В′,С′) ≠ (λ*А″,λ*В″,λ*С″), λϵR. Пускай прямая, которая лежит на пересечении П′ и П″, будет обозначаться буквой а, в этом случае а = П′ ∩ П″.

а - это прямая, состоящая из множества всех точек (общих) плоскостей П′ и П″. Это значит, что координаты любой точки, принадлежащей прямой а, должны одновременно удовлетворять уравнения А′х+В′у+С′z+D′=0 и А″х+В″у+С″z+D″=0. Значит, координаты точки будут частным решением следующей системы уравнений:

В итоге получается, что решение (общее) этой системы уравнений будет определять координаты каждой из точек прямой, которая будет выступать точкой пересечения П′ и П″, и определять прямую а в координатной системе Oxyz (прямоугольной) в пространстве.

Нормальное уравнение плоскости.

Общее уравнение плоскости вида называют нормальным уравнением плоскости , если длина вектора равна единице, то есть, , и .

Часто можно видеть, что нормальное уравнение плоскости записывают в виде . Здесь - направляющие косинусы нормального вектора данной плоскости единичной длины, то есть , а p – неотрицательное число, равное расстоянию от начала координат до плоскости.

Нормальное уравнение плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz определяет плоскость, которая удалена от начала координат на расстояние p в положительном направлении нормального вектора этой плоскости . Если p=0 , то плоскость проходит через начало координат.

Приведем пример нормального уравнения плоскости.

Пусть плоскость задана в прямоугольной системе координат Oxyz общим уравнение плоскости вида . Это общее уравнение плоскости является нормальным уравнением плоскости. Действительно, и нормальный вектор этой плоскости имеет длину равную единице, так как .

Уравнение плоскости в нормальном виде позволяет находить расстояние от точки до плоскости.

Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние от точки до плоскости - это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Если и начало координат лежат по разные стороны плоскости, в противоположном случае. Расстояние от точки до плоскости равно

Взаимное расположение плоскостей. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Расстояние между параллельными плоскостями

Связанные понятия

Плоскости параллельны , если

или (Векторное произведение)

Плоскости перпендикулярны , если

Или . (Скалярное произведение)

Прямая в пространстве. Различные виды уравнения прямой.

Уравнения прямой в пространстве – начальные сведения.

Уравнение прямой на плоскости Oxy представляет собой линейное уравнение с двумя переменными x и y , которому удовлетворяют координаты любой точки прямой и не удовлетворяют координаты никаких других точек. С прямой в трехмерном пространстве дело обстоит немного иначе – не существует линейного уравнения с тремя переменными x , y и z , которому бы удовлетворяли только координаты точек прямой, заданной в прямоугольной системе координат Oxyz . Действительно, уравнение вида , гдеx , y и z – переменные, а A , B , C и D – некоторые действительные числа, причем А , В и С одновременно не равны нулю, представляет собой общее уравнение плоскости . Тогда встает вопрос: «Каким же образом можно описать прямую линию в прямоугольной системе координат Oxyz »?

Ответ на него содержится в следующих пунктах статьи.

Уравнения прямой в пространстве - это уравнения двух пересекающихся плоскостей.

Напомним одну аксиому: если две плоскости в пространстве имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой находятся все общие точки этих плоскостей. Таким образом, прямую линию в пространстве можно задать, указав две плоскости, пересекающиеся по этой прямой.

Переведем последнее утверждение на язык алгебры.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz и известно, что прямая a является линией пересечения двух плоскостей и, которым отвечают общие уравнения плоскости видаисоответственно. Так как прямаяa представляет собой множество всех общих точек плоскостей и, то координаты любой точки прямой a будут удовлетворять одновременно и уравнениюи уравнению, координаты никаких других точек не будут удовлетворять одновременно обоим уравнениям плоскостей. Следовательно, координаты любой точки прямойa в прямоугольной системе координат Oxyz представляют собой частное решение системы линейных уравнений вида , а общее решение системы уравненийопределяет координаты каждой точки прямойa , то есть, определяет прямую a .

Итак, прямая в пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz может быть задана системой из уравнений двух пересекающихся плоскостей .

Вот пример задания прямой линии в пространстве с помощью системы двух уравнений - .

Описание прямой линии уравнениями двух пересекающихся плоскостей отлично подходит принахождении координат точки пересечения прямой и плоскости , а также при нахождении координат точки пересечения двух прямых в пространстве .

Рекомендуем продолжить изучение этой темы, обратившись к статье уравнения прямой в пространстве - уравнения двух пересекающихся плоскостей . В ней дана более детальная информация, подробно разобраны решения характерных примеров и задач, а также показан способ перехода к уравнениям прямой в пространстве другого вида.

Следует отметить, что существуют различные способы задания прямой в пространстве , и на практике прямая чаще задается не двумя пересекающимися плоскостями, а направляющим вектором прямой и точкой, лежащей на этой прямой. В этих случаях проще получить канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. О них поговорим в следующих пунктах.

Параметрические уравнения прямой в пространстве.

Параметрические уравнения прямой в пространстве имеют вид ,

где x 1 ,y 1 и z 1 – координаты некоторой точки прямой, a x , a y и a z (a x , a y и a z одновременно не равны нулю) - соответствующие координаты направляющего вектора прямой , а - некоторый параметр, который может принимать любые действительные значения.

При любом значении параметра по параметрическим уравнениям прямой в пространстве мы можем вычислить тройку чисел,

она будет соответствовать некоторой точке прямой (отсюда и название этого вида уравнений прямой). К примеру, при

из параметрических уравнений прямой в пространстве получаем координаты x 1 , y 1 и z 1 : .

В качестве примера рассмотрим прямую, которую задают параметрические уравнения вида . Эта прямая проходит через точку, а направляющий вектор этой прямой имеет координаты.

Рекомендуем продолжить изучение темы, обратившись к материалу статьи параметрические уравнения прямой в пространстве . В ней показан вывод параметрических уравнений прямой в пространстве, разобраны частные случаи параметрических уравнений прямой в пространстве, даны графические иллюстрации, приведены развернутые решения характерных задач и указана связь параметрических уравнений прямой с другими видами уравнений прямой.

Канонические уравнения прямой в пространстве.

Разрешив каждое из параметрических уравнений прямой вида относительно параметра, легко перейти кканоническим уравнениям прямой в пространстве вида .

Канонические уравнения прямой в пространстве определяют прямую, проходящую через точку, а направляющим вектором прямой является вектор. К примеру, уравнения прямой в каноническом видесоответствуют прямой, проходящей через точку пространства с координатами, направляющий вектор этой прямой имеет координаты.

Следует отметить, что одно или два из чисел в канонических уравнениях прямой могут быть равны нулю (все три числаодновременно не могут быть равны нулю, так как направляющий вектор прямой не может быть нулевым). Тогда запись видасчитается формальной (так как в знаменателях одной или двух дробей будут нули) и ее следует понимать как, где.

Если одно из чисел в канонических уравнениях прямой равно нулю, то прямая лежит в одной из координатных плоскостей, либо в плоскости ей параллельной. Если два из чиселравны нулю, то прямая либо совпадает с одной из координатных осей, либо параллельна ей. Например прямая, соответствующая каноническим уравнениям прямой в пространстве вида, лежит в плоскостиz=-2 , которая параллельна координатной плоскости Oxy , а координатная ось Oy определяется каноническими уравнениями .

Графические иллюстрации этих случаев, вывод канонических уравнений прямой в пространстве, подробные решения характерных примеров и задач, а также переход от канонических уравнений прямой к другим уравнениям прямой в пространстве смотрите в статье канонические уравнения прямой в пространстве .

Общее уравнение прямой. Переход от общего к каноническому уравнению.

В данной статье мы рассмотрим нормальное уравнение плоскости. Приведем примеры построения нормального уравнения плоскости по углу наклона нормального вектора плоскости от осей Ox, Oy, Oz и по расстоянию r от начала координат до плоскости. Представим метод приведения общего уравнения прямой к нормальному виду. Рассмотрим численные примеры.

Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат. Тогда нормальное уравнение плоскости Ω представляется следующей формулой:

где r − расстояние от начала координат до плоскости Ω , а α,β,γ − это углы между единичным вектором n , ортогональным плоскости Ω и координатными осьями Ox, Oy, Oz , соответственно (Рис.1). (Если r >0, то вектор n направлен в сторону плоскости Ω , если же плоскость проходит через начало координат, то направление вектора n выбирается произвольной).

Выведем формулу (1). Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат и плоскость Ω (Рис.1). Проведем через начало координат прямую Q , перпендикулярную плоскости Ω , и точку пересечения обозначим через R . На этой прямой выделим единичный вектор n , с направлением, совпадающим с вектором . (Если точки O и R совпадают, то направление n можно взять произвольным).

Выразим уравнение плоскости Ω через следующие параметры: длину отрезка и углы наклона α, β, γ между вектором n и осьями Ox, Oy, Oz , соответственно.

Так как вектор n является единичным вектором, то его проекции на Ox, Oy, Oz будут иметь следующие координаты:

Скалярное произведение векторов n и имеет следующий вид:

Учитывая, что n= {cosα, cosβ, cosγ }, , мы получим:

Мы получили нормальное уравнение плоскости Ω . Уравнение (7) (или (1)) называется также нормированным уравнением плоскости . Вектор n называется нормальным вектором плоскости .

Как было отмечено выше, число r в уравнении (1) показывает расстояние плоскости от начала координат. Поэтому, имея нормальное уравнение плоскости легко определить расстояние плоскости от начала координат. Для проверки, является ли данное уравнение плоскости уравнением в нормальном виде, нужно проверить длину нормального вектора этой плоскости и знак числа r , т.е. если |n |=1 и r >0, то данное уравнение является нормальным (нормированным) уравнением плоскости.

Пример 1. Задано следующее уравнение плоскости:

Определим длину вектора n :

Так как уравнения (1) и (8) должны определять одну и ту же прямую (Утрерждение 2 статьи "Общее уравнение плоскости"), то существует такое число t , что

Упростим выражение и найдем t :

.

(11)

Знаменатель в (11) отличен от нуля, т.к. хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю (в противном случае (8) не представлял бы уравнение прямой).

Выясним, какой знак имеет t . Обратим внимание на четвертое равенство в (9). Так как r −это расстояние от начала координат до плоскости, то r ≥0. Тогда произведение tD должна иметь отрицательный знак. Т.е. знак t в (11) должен быть противоположным знаку D .

Подставляя в (1) вместо cosα, cosβ, cosγ и −r значения из (9), получим tAx+tBy+tCz+tD =0. Т.е. для приведения общего уравенения плоскости к нормальному виду, нужно заданное уравнение умножить на множитель (11). Множитель (11) называется нормирующим множителем .

Пример 2. Задано общее уравнение плоскости

Так как D >0, то знак t отрицательный:

Отметим, что число является расстоянием от начала координат до прямой (12).

Чтобы получить общее уравнение плоскости, разберём плоскость, проходящую через заданную точку.

Пусть в пространстве есть три уже известные нам оси координат - Ox , Oy и Oz . Подержим лист бумаги так, чтобы он оставался плоским. Плоскостью будет сам лист и его продолжение во всех направлениях.

Пусть P произвольная плоскость в пространстве. Всякий перпендикулярный ей вектор называется вектором нормали к этой плоскости. Естественно, речь идёт о ненулевом векторе.

Если известна какая-нибудь точка плоскости P и какой-нибудь вектор нормали к ней, то этими двумя условиями плоскость в пространстве вполне определена (через заданную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данному вектору). Общее уравнение плоскости будет иметь вид:

Итак, условия, которыми задаётся уравнение плоскости, есть. Чтобы получить само уравнение плоскости , имеющее приведённый выше вид, возьмём на плоскости P произвольную точку M с переменными координатами x , y , z . Эта точка принадлежит плоскости только в том случае, когда вектор перпендикулярен вектору (рис. 1). Для этого, согласно условию перпендикулярности векторов, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю, то есть

Вектор задан по условию. Координаты вектора найдём по формуле :

.

Теперь, используя формулу скалярного произведения векторов , выразим скалярное произведение в координатной форме:

Так как точка M(x; y; z) выбрана на плоскости произвольно, то последнему уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на плоскости P . Для точки N , не лежащей на заданной плоскости, , т.е. равенство (1) нарушается.

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .

Решение. Используем формулу (1), еще раз посмотрим на неё:

В этой формуле числа A , B и C координаты вектора , а числа x 0 , y 0 и z 0 - координаты точки .

Вычисления очень простые: подставляем эти числа в формулу и получаем

Умножаем всё, что нужно умножить и складываем просто числа (которые без букв). Результат:

.

Требуемое уравнение плоскости в этом примере оказалось выражено общим уравнением первой степени относительно переменных координат x, y, z произвольной точки плоскости.

Итак, уравнение вида

называется общим уравнением плоскости .

Пример 2. Построить в прямоугольной декартовой системе координат плоскость, заданную уравнением .

Решение. Для построения плоскости необходимо и достаточно знать какие-либо три её точки, не лежащие на одной прямой, например, точки пересечения плоскости с осями координат.

Как найти эти точки? Чтобы найти точку пересечения с осью Oz , нужно в уравнение, данное в условии задачи, вместо икс и игрека подставить нули: x = y = 0 . Поэтому получаем z = 6 . Таким образом, заданная плоскость пересекает ось Oz в точке A (0; 0; 6) .

Точно так же находим точку пересечения плоскости с осью Oy . При x = z = 0 получаем y = −3 , то есть точку B (0; −3; 0) .

И, наконец, находим точку пересечения нашей плоскости с осью Ox . При y = z = 0 получим x = 2 , то есть точку C (2; 0; 0) . По трём полученным в нашем решении точкам A (0; 0; 6) , B (0; −3; 0) и C (2; 0; 0) строим заданную плоскость.

Рассмотрим теперь частные случаи общего уравнения плоскости . Это случаи, когда те или иные коэффициенты уравнения (2) обращаются в нуль.

1. При D = 0 уравнение определяет плоскость, проходящую через начало координат, так как координаты точки 0 (0; 0; 0) удовлетворяют этому уравнению.

2. При A = 0 уравнение определяет плоскость, параллельную оси Ox , поскольку вектор нормали этой плоскости перпендикулярен оси Ox (его проекция на ось Ox равна нулю). Аналогично, при B = 0 плоскость параллельная оси Oy , а при C = 0 плоскость параллельна оси Oz .

3. При A = D = 0 уравнение определяет плоскость, проходящую через ось Ox , поскольку она параллельна оси Ox (A = D = 0). Аналогично, плоскость проходит через ось Oy , а плоскость через ось Oz .

4. При A = B = 0 уравнение определяет плоскость, параллельную координатной плоскости xOy , поскольку она параллельна осям Ox (A = 0) и Oy (B = 0). Аналогично, плоскость параллельна плоскости yOz , а плоскость - плоскости xOz .

5. При A = B = D = 0 уравнение (или z = 0) определяет координатную плоскость xOy , так как она параллельна плоскости xOy (A = B = 0) и проходит через начало координат (D = 0). Аналогично, уравнение y = 0 в пространстве определяет координатную плоскость xOz , а уравнение x = 0 - координатную плоскость yOz .

Пример 3. Составить уравнение плоскости P , проходящей через ось Oy и точку .

Решение. Итак, плоскость проходит через ось Oy . Поэтому в её уравнении y = 0 и это уравнение имеет вид . Для определения коэффициентов A и C воспользуемся тем, что точка принадлежит плоскости P .

Поэтому среди её координат есть такие, которые можно подставить в уравнению плоскости, которое мы уже вывели (). Смотрим ещё раз на координаты точки:

M 0 (2; −4; 3) .

Среди них x = 2 , z = 3 . Подставляем их в уравнение общего вида и получаем уравнение для нашего частного случая:

2A + 3C = 0 .

Оставляем 2A в левой части уравнения, переносим 3C в правую часть и получаем

A = −1,5C .

Подставив найденное значение A в уравнение , получим

или .

Это и есть уравнение, требуемое в условии примера.

Решить задачу на уравнения плоскости самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Определить плоскость (или плоскости, если больше одной) относительно координатных осей или координатных плоскостей, если плоскость (плоскости) задана уравнением .

Решения типичных задач, которые бывают на контрольных работах - в пособии "Задачи на плоскость: параллельность, перпендикулярность, пересечение трёх плоскостей в одной точке" .

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Как уже упоминалось, необходимым и достаточным условием для построения плоскости, кроме одной точки и вектора нормали, являются также три точки, не лежащие на одной прямой.

Пусть даны три различные точки , и , не лежащие на одной прямой. Так как указанные три точки не лежат на одной прямой, векторы и не коллинеарны, а поэтому любая точка плоскости лежит в одной плоскости с точками , и тогда и только тогда, когда векторы , и компланарны, т.е. тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих векторов равно нулю.

Используя выражение смешанного произведения в координатах, получим уравнение плоскости

(3)

После раскрытия определителя это уравнение становится уравнением вида (2), т.е. общим уравнением плоскости.

Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, не лежащие на одной прямой:

и определить частный случай общего уравнения прямой, если такой имеет место.

Решение. По формуле (3) имеем:

Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости

Нормальным уравнением плоскости называется её уравнение, записанное в виде