Заметим, что в дальнейшем, не нарушая общности, будем рассматривать случай векторов в трехмерном пространстве. На плоскости рассмотрение векторов производится аналогично. Как уже отмечалось выше, все результаты, известные из курса линейной алгебры для алгебраических векторов можно перенести на частный случай геометрических векторов. Так и поступим.
Пусть зафиксированы векторы .
Определение. Сумма , где - некоторые числа, называется линейной комбинацией векторов . При этом указанные числа будем называть коэффициентами линейной комбинации.
Нас будет интересовать вопрос о возможности равенства линейной комбинации нулевому вектору. В соответствии со свойствами и аксиомами векторных пространств, становится очевидным, что для любой системы векторов существует тривиальный (нулевой) набор коэффициентов , для которого это равенство выполняется:
Возникает вопрос о существовании для данной системы векторов нетривиального набора коэффициентов (среди которых есть хотя бы один ненулевой коэффициент), для которого выполняется упомянутое равенство. В соответствии с этим будем различать линейно зависимые и независимые системы.
Определение. Система векторов называется линейно независимой, если существует такой набор чисел , среди которых есть хотя бы одно ненулевое, такое что соответствующая линейная комбинация равна нулевому вектору:
Система векторов называется линейно независимой, если равенство
возможно лишь в случае тривиального набора коэффициентов:
Перечислим доказываемые в курсе линейной алгебры основные свойства линейно зависимых и независимых систем.
1. Любая система векторов, содержащая нулевой вектор, является линейно зависимой.
2. Пусть в системе векторов есть линейно зависимая подсистема. Тогда и вся система также является линейно зависимой.
3. Если система векторов является линейно независимой, то любая ее подсистема также является линейно независимой.
4. Если в системе векторов есть два вектора, один из которых получается из другого умножением на некоторое число, то вся система является линейно зависимой.
Теорема (критерий линейной зависимости). Система векторов является линейно зависимой тогда и только тогда, когда один из векторов этой системы представим в виде линейной комбинации остальных векторов системы.
С учетом критерия коллинеарности двух векторов можно утверждать, что критерием их линейной зависимости является их коллинеарность. Для трех векторов в пространстве справедливо следующее утверждение.
Теорема (критерий линейной зависимости трех геометрических векторов). Три вектора , и линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.
Доказательство.
Необходимость. Пусть векторы , и линейно зависимы. Докажем их компланарность. Тогда по общему критерию линейной зависимости алгебраических векторов утверждаем, что один из указанных векторов представим в виде линейной комбинации остальных векторов. Пусть, например,
Если все три вектора , и приложить к общему началу , то вектор совпадет с диагональю параллелограмма, построенного на векторах и . Но это означает, что векторы , и лежат в одной плоскости, т.е. компланарны.
Достаточность. Пусть векторы , и компланарны. Покажем, что они линейно зависимы. В первую очередь рассмотрим случай, когда какая-нибудь пара из указанных векторов коллинеарна. В этом случае согласно предыдущей теореме система векторов , , содержит линейно зависимую подсистему и, следовательно, сама является линейно зависимой согласно свойству 2 линейно зависимых и независимых систем векторов. Пусть теперь ни одна пара рассматриваемых векторов не коллинеарна. Перенесем все три вектора на одну плоскость и приведем их к общему началу . Проведем через конец вектора прямые параллельные векторам и . Обозначим буквой точку пересечения прямой, параллельной вектору , с прямой, на которой лежит вектор , а буквой точку пересечения прямой, параллельной вектору , с прямой, на которой лежит вектор . По определению суммы векторов получаем:
.
Так как вектор коллинеарен ненулевому вектору , то существует действительное число такое, что
Из аналогичных соображений вытекает существование действительного числа такого, что
В результате будем иметь:
Тогда из общего критерия линейной зависимости алгебраических векторов получаем, что векторы , , линейно зависимы. ■
Теорема (линейная зависимость четырех векторов). Любые четыре вектора линейно зависимы.
Доказательство. В первую очередь, рассмотрим случай, когда какая-нибудь тройка из указанных четырех векторов компланарна. В этом случае эта тройка линейно зависима в соответствии с предыдущей теоремой. Следовательно, в соответствии со свойством 2 линейно зависимых и независимых систем векторов, и вся четверка линейно зависима.
Пусть теперь среди рассматриваемых векторов никакая тройка векторов не компланарна. Приведем все четыре вектора , , , к общему началу и проведем через конец вектора плоскости, параллельные плоскостям, определяемыми парами векторов , ; , ; , . Точки пересечения указанных плоскостей с прямыми, на которых лежат векторы , и , обозначим соответственно буквами , и . Из определения суммы векторов следует, что
которое с учетом общего критерия линейной зависимости алгебраических векторов говорит о том, что все четыре вектора линейно зависимы. ■
Определение 18.2 Система функций ф , ..., ф п называется л и- нейп о з а в и с и м. о й на промежутке (а, (3), если некоторая нетривиальная 5 линейная комбинация этих функций равни нулю на этом промежутке тождественно:
Определение 18.3 Система векторов ж 1 , ..., х п называет,ся линейно в а в и с и м о й, если некоторая нетривиальная, линейная комбинация этих векторов равна пулевому вектору:
Л Во избежание путаницы мы в дальнейшем будем номер компоненты вектора (вектор-функции) обозначать нижним индексом, а номер самого вектора (если таких векторов несколько) верхним.
"Напоминаем, что линейная комбинации называется нетривиальной, если не все коэффициенты в ней нулевые.
Определение 18.4 Система вектор-функций х 1 ^),..., x n (t) называется линейн о з а в и с и м о й на промежутке, (а, /3), если некоторая нетривиальная линейная комбинация этих вектор-функций тождественно равна на этом промежутке нулевому вектору:
Важно разобраться в связи этих трех понятий (линейной зависимости функций, векторов и вектор-функций) друг с другом.
Прежде всего, если представить формулу (18.6) в развернутом виде (вспомнив, что каждая из х г (1) является вектором)
то она окажется эквивалентной системе равенств
означающих линейную зависимость г-х компонент в смысле первого определения (как функций). Говорят, что линейная зависимость вектор- функций влечет их покомпонентную линейную зависимость.
Обратное, вообще говоря, неверно: достаточно рассмотреть пример пары вектор-функций
Первые компоненты этих вектор-функций просто совпадают значит, они линейно зависимы. Вторые компоненты пропорциональны, значит. тоже линейно зависимы. Однако если мы попробуем построить их линейную комбинацию, равную нулю тождественно, то из соотношения
немедленно получаем систему
которая имеет единственное решение С - С -2 - 0. Таким образом, наши вектор-функции линейно независимы.
В чем причина такого странного свойства? В чем фокус, позволяющий из заведомо зависимых функций строить линейно независимые вектор-функции?
Оказывается, все дело не столько в линейной зависимости компонент, сколько в той пропорции коэффициентов, которая необходима для получения нуля. В случае линейной зависимости вектор-функций один и тот же набор коэффициентов обслуживает все компоненты независимо от номера. А вот в приведенном нами примере для одной компоненты требовалась одна пропорция коэффициентов, а для другой другая. Так что фокус на самом деле прост: для того, чтобы из „покомпонентной" линейной зависимости получить линейную зависимость вектор-функций целиком, необходимо, чтобы все компоненты были линейно зависимы „в одной и той же пропорции".
Перейдем теперь к изучению связи линейной зависимости вектор- функций и векторов. Здесь почти очевидным является тот факт, что из линейной зависимости вектор-функций следует, что для каждою фиксированного t* вектора
будут линейно зависимы.
Обратное, вообще говоря, места не имеет: из линейной зависимости векторов при каждом t не следует линейная зависимость вектор-функций. Это легко увидеть на примере двух вектор-функций
При t = 1, t = 2 и t = 3 мы получаем пары векторов
соответственно. Каждая пара векторов пропорциональна (с коэффициентами 1,2 и 3 соответственно). Нетрудно понять, что для любого фиксированного t* наша пара векторов будет пропорциональна с коэффициентом t*.
Если же мы попытаемся построить линейную комбинацию вектор- функций, равную нулю тождественно, то уже первые компоненты дают нам соотношение
что возможно лишь если С = С 2 = 0. Таким образом, наши вектор- функции оказались линейно независимыми. Опять же объяснение такого эффекта состоит в том, что в случае линейной зависимости вектор- функций один и тот же набор констант Cj обслуживает все значения t, а в нашем примере для каждого значения t требовалась своя пропорция между коэффициентами.
Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух
векторов является их коллинеарность.
2. Скаля́рное произведе́ние - операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр (число), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины данного вектора x на проекцию другого вектора y на данный вектор x. Эта операция обычно рассматривается каккоммутативная и линейная по каждому сомножителю.
Свойства скалярного произведения:
3. Три вектора (или большее число) называются компланарными , если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости .
Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трехвекторов является их компланарность.Любые четыре вектора линейно зависимы. Базисом в пространстве называется любаяупорядоченная тройка некомпланарных векторов. Базис в пространстве позволяет однозначно сопоставить каждому векторуупорядоченную тройку чисел – коэффициенты представления этого вектора в виделинейной комбинации векторов базиса. Наоборот, каждой упорядоченной тройкечисел при помощи базиса мы сопоставим вектор , еслисоставим линейную комбинацию Ортогональный базис называется ортонормированным , если еговекторы по длине равны единице. Для ортонормированного базиса в пространствечасто используют обозначения . Теорема: В ортонормированном базисе координаты векторов естьсоответствующие ортогональные проекции этого вектора на направлениякоординатных векторов. Тройка некомпланарных векторов a, b, c называется правой , если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, c в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. B противном случае a, b, c - левая тройка . Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными. Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат OX и OY . Оси координат пересекаются в точке O , которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление. Вправосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси OY вверх, ось OX смотрела направо.
Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат X "X и Y "Y , называются координатными углами или квадрантами (см. рис. 1).
если векторы и относительно ортонормированного базиса на плоскости имеют координаты и соответственно, то скалярное произведение этих векторов вычисляется по формуле
4. Векторное произведение двух векторов а и b - это операция над ними, определенная лишь в трехмерном пространстве, результатом которой являетсявектор со следующими
свойствами:
Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах. Необходимым и достаточным условием коллинеарности ненулевого вектора и вектора является существование такого числа , которое удовлетворяет равенству .
Если два вектора и определены своими прямоугольными декартовыми координатами, а говоря точнее - представлены вортонормированном базисе
а система координат правая, то их векторное произведение имеет вид
Для запоминания этой формулы удобно использовать определитель:
5. Сме́шанное произведе́ние векторов - скалярное произведение вектора на векторное произведениевекторов и :
Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр(точнее - псевдоскаляр).
Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами .
При перестановке двух множителей смешанное произведение изменяет знак на противоположный:
При циклической (круговой) перестановке множителей смешанное произведение не изменяется:
Смешанное произведение линейно по любому множителю.
Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны.
1. Условие компланарности векторов : три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.
§ Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.
§ Смешанное произведение компланарных векторов . Это - критерий компланарности трёх векторов.
§ Компланарные векторы - линейно зависимы. Это - тоже критерий компланарности.
§ Существуют действительные числа такие, что для компланарных , за исключением случаев или . Это - переформулировка предыдущего свойства и тоже критерий компланарности.
§ В 3-мерном пространстве 3 некомпланарных вектора образуют базис. То есть любой вектор можно представить в виде: . Тогда будут координатами в данном базисе.
Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и :
§ 6. Общее уравнение (полное) плоскости
где и - постоянные, причём и одновременно не равны нулю; в векторной форме:
где - радиус-вектор точки , вектор перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор).Направляющие косинусы вектора :
Если один из коэффициентов в уравнении плоскости равен нулю, уравнение называется неполным . При плоскость проходит через начало координат, при (или , ) П. параллельна оси (соответственно или ). При ( , или ) плоскость параллельна плоскости (соответственно или ).
§ Уравнение плоскости в отрезках:
где , , - отрезки, отсекаемые плоскостью на осях и .
§ Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору нормали :
в векторной форме:
(смешанное произведение векторов), иначе
§ Нормальное (нормированное) уравнение плоскости
§ Угол между двумя плоскостями. Если уравнения П. заданы в виде (1), то
Если в векторной форме, то
§ Плоскости параллельны , если
Или (Векторное произведение)
§ Плоскости перпендикулярны , если
Или . (Скалярное произведение)
7. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , не лежащие на одной прямой :
8.Расстояние от точки до плоскости - это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, чторасстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
§ Отклонение точки от плоскости заданной нормированным уравнением
Если и начало координат лежат по разные стороны плоскости, в противоположном случае . Расстояние от точки до плоскости равно
§ Расстояние от точки , до плоскости, заданной уравнением , вычисляется по формуле:
9. Пучок плоскостей - уравнение любой П., проходящей через линию пересечения двух плоскостей
где α и β - любые числа, не равные одновременно нулю.
Для того чтобы три плоскости, заданные своими общими уравнениями A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0, A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0, A 3 x+B 3 y+C 3 z+D 3 =0 относительно ПДСК принадлежали одному пучку, собственному или несобственному, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы был равен или двум, или единице.
Теорема 2. Пусть относительно ПДСК заданы две плоскости π 1 и π 2 своими общими уравнениями: A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0, A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0. Для того чтобы плоскость π 3 , заданная относительно ПДСК своим общим уравнением A 3 x+B 3 y+C 3 z+D 3 =0, принадлежала пучку, образованному плоскостями π 1 и π 2 , необходимо и достаточно, чтобы левая часть уравнения плоскости π 3 представлялась как линейная комбинация левых частей уравнений плоскостей π 1 и π 2 .
10. Векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:
где - радиус-вектор некоторой фиксированной точки M 0 , лежащей на прямой, - ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой, - радиус-вектор произвольной точки прямой.
Параметрическое уравнение прямой в пространстве:
M
Каноническое уравнение прямой в пространстве:
где - координаты некоторой фиксированной точки M 0 , лежащей на прямой; - координаты вектора,коллинеарного этой прямой.
Общее векторное уравнение прямой в пространстве:
Поскольку прямая является пересечением двух различных непараллельных плоскостей, заданных соответственно общими уравнениями:
то уравнение прямой можно задать системой этих уравнений:
Угол между направляющими векторами и будет равен углу между прямыми. Угол между векторами находят при помощи скалярного произведения. cosA=(ab)/IaI*IbI
Угол между прямой и плоскостью находят по формуле:
где (А;В;С;) координаты нормального вектора плоскости
(l;m;n;) координаты направляющего вектора прямой
Условия параллельности двух прямых:
а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:
k 1 = k 2 . (8)
б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.
Условия перпендикулярности двух прямых:
а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.
б) Если уравнения прямых заданы в общем виде (6), то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства
A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости. Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.
Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарные. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.
12. В пространстве расстояние от точки до прямой, заданной параметрическим уравнением
можно найти как минимальное расстояние от заданной точки до произвольной точки прямой. Коэффициент t этой точки может быть найден по формуле
Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. Оно равно расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые.
Введенные нами линейные операции над векторами дают возможность составлять различные выражения для векторных величин и преобразовывать их при помощи установленных для этих операций свойств.
Исходя из заданного набора векторов а 1 , ..., а n , можно составить выражение вида
где а 1 , ..., а n - произвольные действительные числа. Это выражение называют линейной комбинацией векторов а 1 , ..., а n . Числа α i , i = 1, n , представляют собой коэффициенты линейной комбинации . Набор векторов называют еще системой векторов .
В связи с введенным понятием линейной комбинации векторов возникает задача описания множества векторов, которые могут быть записаны в виде линейной комбинации данной системы векторов а 1 , ..., а n . Кроме того, закономерны вопросы об условиях, при которых существует представление вектора в виде линейной комбинации, и о единственности такого представления.
Определение 2.1. Векторы а 1 , ..., а n называют линейно зависимыми , если существует такой набор коэффициентов α 1 , ... , α n , что
α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)
и при этом хотя бы один из этих коэффициентов ненулевой. Если указанного набора коэффициентов не существует, то векторы называют линейно независимыми .
Если α 1 = ... = α n = 0, то, очевидно, α 1 а 1 + ... + α n а n = 0. Имея это в виду, можем сказать так: векторы а 1 , ..., а n линейно независимы, если из равенства (2.2) вытекает, что все коэффициенты α 1 , ... , α n равны нулю.
Следующая теорема поясняет, почему новое понятие названо термином "зависимость" (или "независимость"), и дает простой критерий линейной зависимости.
Теорема 2.1. Для того чтобы векторы а 1 , ..., а n , n > 1, были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из них являлся линейной комбинацией остальных.
◄ Необходимость. Предположим, что векторы а 1 , ..., а n линейно зависимы. Согласно определению 2.1 линейной зависимости, в равенстве (2.2) слева есть хотя бы один ненулевой коэффициент, например α 1 . Оставив первое слагаемое в левой части равенства, перенесем остальные в правую часть, меняя, как обычно, у них знаки. Разделив полученное равенство на α 1 , получим
a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n
т.е. представление вектора a 1 в виде линейной комбинации остальных векторов а 2 , ..., а n .
Достаточность. Пусть, например, первый вектор а 1 можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов: а 1 = β 2 а 2 + ... + β n а n . Перенеся все слагаемые из правой части в левую, получим а 1 - β 2 а 2 - ... - β n а n = 0, т.е. линейную комбинацию векторов а 1 , ..., а n с коэффициентами α 1 = 1, α 2 = - β 2 , ..., α n = - β n , равную нулевому вектору. В этой линейной комбинации не все коэффициенты равны нулю. Согласно определению 2.1, векторы а 1 , ..., а n линейно зависимы.
Определение и критерий линейной зависимости сформулированы так, что подразумевают наличие двух или более векторов. Однако можно также говорить о линейной зависимости одного вектора. Чтобы реализовать такую возможность, нужно вместо "векторы линейно зависимы" говорить "система векторов линейно зависима". Нетрудно убедиться, что выражение "система из одного вектора линейно зависима" означает, что этот единственный вектор является нулевым (в линейной комбинации имеется только один коэффициент, и он не должен равняться нулю).
Понятие линейной зависимости имеет простую геометрическую интерпретацию. Эту ин-терпретацию проясняют следующие три утверждения.
Теорема 2.2. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.
◄ Если векторы а и b линейно зависимы, то один из них, например а, выражается через другой, т.е. а = λb для некоторого действительного числа λ. Согласно определению 1.7 произведения вектора на число, векторы а и b являются коллинеарными.
Пусть теперь векторы а и b коллинеарны. Если они оба нулевые, то очевидно, что они линейно зависимы, так как любая их линейная комбинация равна нулевому вектору. Пусть один из этих векторов не равен 0, например вектор b. Обозначим через λ отношение длин векторов: λ = |а|/|b|. Коллинеарные векторы могут быть однонаправленными или противоположно направленными . В последнем случае у λ изменим знак. Тогда, проверяя определение 1.7, убеждаемся, что а = λb. Согласно теореме 2.1, векторы а и b линейно зависимы.
Замечание 2.1. В случае двух векторов, учитывая критерий линейной зависимости, доказанную теорему можно переформулировать так: два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда один из них представляется как произведение другого на число. Это является удобным критерием коллинеарности двух векторов.
Теорема 2.3. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны .
◄ Если три вектора а, Ь, с линейно зависимы, то, согласно теореме 2.1, один из них, например а, является линейной комбинацией остальных: а = βb + γс. Совместим начала векторов b и с в точке A. Тогда векторы βb, γс будут иметь общее начало в точке A и по правилу параллелограмма их сумма, т.е. вектор а, будет представлять собой вектор с началом A и концом , являющимся вершиной параллелограмма, построенного на векторах-слагаемых. Таким образом, все векторы лежат в одной плоскости, т. е. компланарны.
Пусть векторы а, b, с компланарны. Если один из этих векторов является нулевым, то очевидно, что он будет линейной комбинацией остальных. Достаточно все коэффициенты линейной комбинации взять равными нулю. Поэтому можно считать, что все три вектора не являются нулевыми. Совместим начала этих векторов в общей точке O. Пусть их концами будут соот-ветственно точки A, B, C (рис. 2.1). Через точку C проведем прямые, параллельные прямым, проходящим через пары точек O, A и O, B. Обозначив точки пересечения через A" и B", получим параллелограмм OA"CB", следовательно, OC" = OA" + OB" . Вектор OA" и ненулевой вектор а= OA коллинеарны, а потому первый из них может быть получен умножением второго на действительное число α:OA" = αOA . Аналогично OB" = βOB , β ∈ R. В результате получаем,что OC" = α OA + βOB , т.е. вектор с является линейной комбинацией векторов а и b. Согласно теореме 2.1, векторы a, b, с являются линейно зависимыми.
Теорема 2.4. Любые четыре вектора линейно зависимы.
◄ Доказательство проводим по той же схеме, что и в теореме 2.3. Рассмотрим произвольные четыре вектора a, b, с и d. Если один из четырех векторов является нулевым, либо среди них есть два коллинеарных вектора, либо три из четырех векторов компланарны, то эти четыре вектора линейно зависимы. Например, если векторы а и b коллинеарны, то мы можем составить их линейную комбинацию αa + βb = 0 с ненулевыми коэффициентами, а затем в эту комбинацию добавить оставшиеся два вектора, взяв в качестве коэффициентов нули. Получим равную 0 линейную комбинацию четырех векторов, в которой есть ненулевые коэффициенты.
Таким образом, мы можем считать, что среди выбранных четырех векторов нет нулевых, никакие два не коллинеарны и никакие три не являются компланарными. Выберем в качестве их общего начала точку О. Тогда концами векторов a, b, с, d будут некоторые точки A, B, С, D (рис. 2.2). Через точку D проведем три плоскости, параллельные плоскостям ОВС, OCA, OAB, и пусть A", B", С" - точки пересечения этих плоскостей с прямыми OA, OB, ОС соответственно. Мы получаем параллелепипед OA"C"B"C"B"DA", и векторы a, b, с лежат на его ребрах, выходящих из вершины О. Так как четырехугольник OC"DC" является параллелограммом, то OD = OC" + OC" . В свою очередь, отрезок ОС" является диагональю параллелограмма OA"C"B", так что OC" = OA" + OB" , а OD = OA" + OB" + OC" .
Остается заметить, что пары векторов OA ≠ 0 и OA" , OB ≠ 0 и OB" , OC ≠ 0 и OC" коллинеарны, и, следовательно, можно подобрать коэффициенты α, β, γ так, что OA" = αOA , OB" = βOB и OC" = γOC . Окончательно получаем OD = αOA + βOB + γOC . Следовательно, вектор OD выражается через остальные три вектора, а все четыре вектора, согласно теореме 2.1, линейно зависимы.
Следующие дают несколько критериев линейной зависимости и соответственно линейной независимости систем векторов.
Теорема. (Необходимое и достаточное условие линейной зависимости векторов.)
Система векторов является зависимой тогда и только тогда, когда один из векторов системы линейно выражается через другие этой системы.
Доказательство. Необходимость. Пусть система линейно зависимая. Тогда, по определению, она представляет нулевой вектор нетривиально, т.е. существует нетривиальная комбинация данной системы векторов равная нулевому вектору:
где хотя бы один из коэффициентов этой линейной комбинации не равен нулю. Пусть , .
Разделим обе части предыдущего равенства на этот ненулевой коэффициент (т.е. умножим на :
Обозначим: , где .
т.е. один из векторов системы линейно выражается через другие этой системы, ч.т.д.
Достаточность. Пусть один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы:
Перенесем вектор в правую этого равенства:
Так как коэффициент при векторе равен , то мы имеем нетривиальное представление нуля системой векторов , что означает, что эта система векторов является линейно зависимой, ч.т.д.
Теорема доказана.
Следствие.
1. Система векторов векторного пространства является линейно независимой тогда и только тогда, когда ни один из векторов системы линейно не выражается через другие вектора этой системы.
2. Система векторов, содержащая нулевой вектор или два равных вектора, является линейно зависимой.
Доказательство.
1) Необходимость. Пусть система линейно независимая. Допустим противное и существует вектор системы линейно выражающийся через другие вектора этой системы. Тогда по теореме система является линейно зависимой и мы приходим к противоречию.
Достаточность. Пусть ни один из векторов системы не выражается через другие. Допустим противное. Пусть система линейно зависимая, но тогда из теоремы следует, что существует вектор системы линейно выражающийся через другие векторы этой системы и мы опять приходим к противоречию.
2а) Пусть система содержит нулевой вектор. Допустим для определенности, что вектор :. Тогда очевидно равенство
т.е. один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы. Из теоремы следует, что такая система векторов является линейно зависимой, ч.т.д.
Заметим, что этот факт можно доказать непосредственно из линейно зависимой системы векторов.
Так как , то следующее равенство очевидно
Это нетривиальное представление нулевого вектора, а значит система является линейно зависимой.
2б) Пусть система имеет два равных вектора. Пусть для . Тогда очевидно равенство
Т.е. первый вектор линейно выражается через остальные векторы этой же системы. Из теоремы следует, что данная система линейно зависимая, ч.т.д.
Аналогично предыдущему это утверждение можно доказать и непосредственно определения линейно зависимой системы.
